高中数学:数形结合求函数值域,从原理方法到例题详解理解更深刻

高中数学求函数值域的方法有很多,比如配方法、判别式法、换元法、不等式法、反函数法、单调性法、导数法等。每种方法都有各自的优点,今天我们只讨论数形结合求函数的值域的方法。

高中数学

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一、理论原理

数形结合法求函数的值域,就是将函数与图形有机结合,利用图形的直观性求出函数的值域。这些函数的解析式往往具有某种明显的几何意义或者特殊的函数结构。

而常用的理论原理则包括:

两点的距离公式;

②三角形两边之和大于第三边;

③直线的斜率等。

若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然。

我们以以上理论为基础,分别从绝对值、线段、圆、抛物线 、椭圆等几个角度来学习数形结合求函数的值域的方法。

二、具体方法,例题解析

例1、求函数y=|x-1|+|x-3|的值域

解:函数y=|x-1|+|x-3|可以看成数轴上点P(x)到定点A(1),B(3)的距离的和。

因此,根据其几何意义,

当点P在线段AB之间时,即1≤x≤3时,y=|x-1|+|x-3|=x-1+3-x=2;

当点P在线段AB左边或右边时,即x<1或3<x时,y=|x-1|+|x-3|>|AB|=2

∴函数y=|x-1|+|x-3|的值域为{x∈R|x≥2}

方法技巧:对于根号里含偶次方的代数式,我们常常通过配方,把它看成平面上两点之间的距离。

三、其他图形数形结合的例子

对于一些能够准确画出函数图像得函数来说,可以先画出其函数图像,然后利用函数图像求其值域

在这里我们只列举两个简单的例子:

例6、若x+2y=4,x>0,y>0,试求lgx+lgy的最大值

解:本题可看做动点在直线x+2y=4第一象限部分移动时,求lgx+lgy的最大值,我们根据图像易得:x∈(0,4),y∈(0,2),

而lgx+lgy=lgxy=lg[y(4-2y)]=lg[-2(y-1)2+2]

显然,当y=1时,原式取最大值lg2

好了,今天的数形结合求函数值域的方法就介绍到这里,欢迎继续关注,精彩还将继续!

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